칸토어집합 C에 대해 |C|=2^ℵ₀

칸토어집합 C에 대해 |C|=2^ℵ₀임은 다음과같이 증명 가능한가요? 다음논리에 오류는 없나요?

C는 [0, 1]→[0, 1/3]∪[2/3, 1]→[0, 1/9]∪[2/9, 1/3]∪[2/3, 7/9]∪[8/9, 1]→...처럼 한단계마다 필요한 구간의 개수가 2배가 되며 [0, 1]=C₁로 하고 Cₙ₊₁을 Cₙ의 각 구간을 3등분해 양쪽 구간을 취한것으로 정하면 lim[n→∞]Cₙ=C이다. 즉 이 집합열의 극한은 칸토어집합이다.
이때 Cₙ를 이루는 구간의 개수는 2ⁿ⁻¹개이며 한단계한단계 진행되므로 이 무한은 ℵ₀이다. lim[n→ℵ₀]Cₙ을 구성하는 구간의 개수는 2^ℵ₀으로 볼 수 있다.
이때 각 구간이 한 점이된다고 하면 |lim[n→ℵ₀]Cₙ|=|C|=2^ℵ₀으로 증명되었고, 각 구간이 여전히 여러 점을 포함하는집합이려고 해도 2^(1+ℵ₀)=2^ℵ₀으로 증명된다.

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