모든 항의 계수가 실수인 다항방정식은

다항 방정식의 모든 항의 계수가 실수인 경우, 복소수 해를 가지는 경우와 실수 해를 가지는 경우가 모두 가능합니다. 그러나 모든 근의 합과 곱이 항상 실수인 이유는 다음과 같습니다:

​

1. 다항 방정식의 해는 근-계수 관계에 의해 결정됩니다. 만약 실수 계수를 가진 다항 방정식이 복소수 해를 가진다면, 그 해의 켤레 복소수도 함께 존재하게 됩니다. 따라서 복소수 해와 그 켤레 복소수의 합과 곱은 항상 실수가 됩니다.

​

2. 복소수 해의 경우, 복소수 합과 곱의 성질에 의해 근의 합과 곱이 항상 실수가 됩니다. 즉, 복소수 해들의 실수부와 허수부를 합하거나 곱하면 실수가 되는 성질을 가지고 있습니다.

​

따라서, 다항 방정식의 모든 항의 계수가 실수인 경우, 근의 합과 곱이 항상 실수가 되는 것입니다.