삼각형 넓이
(a,b,c는 각각 삼각형의 변의 길이, R은 외접원 반지름의 길이)
이 왜 성립하나요?
이 식은 삼각형의 넓이와 외접원의 반지름 사이의 관계를 나타내는 유명한 공식인 "삼각형의 외접원 공식"입니다.
삼각형의 외접원 공식은 다음과 같이 유도될 수 있습니다.
삼각형 ABC의 변의 길이를 a, b, c라고 하고, 외접원의 반지름을 R이라고 합시다. 이때, 삼각형 ABC의 넓이를 S라고 하면, 삼각형의 넓이는 밑변과 높이를 곱한 값의 반으로 나타낼 수 있습니다. 따라서, S = (a * h) / 2 입니다.
삼각형 ABC의 높이 h는 삼각형의 한 변과 그 변에 대한 높이의 관계를 나타내는 성질을 이용하여 구할 수 있습니다. 이때, 삼각형 ABC의 한 변을 a로 가정하고, 그 변에 대한 높이를 h_a라고 합시다. 이때, h_a는 a에 대한 높이이므로, 삼각형 ABC의 넓이를 구하는 다른 방법으로 표현할 수 있습니다. 즉, S = (b * h_a) / 2 입니다.
이때, 삼각형 ABC의 외접원의 반지름 R은 삼각형의 변의 길이와 외접원의 반지름의 관계를 나타내는 성질을 이용하여 구할 수 있습니다. 이때, 삼각형 ABC의 한 변을 a로 가정하고, 그 변에 대한 외접원의 반지름을 R_a라고 합시다. 이때, R_a는 a에 대한 외접원의 반지름이므로, 삼각형 ABC의 넓이를 구하는 다른 방법으로 표현할 수 있습니다. 즉, S = (a * R_a) / 2 입니다.
따라서, 위의 두 방법으로 구한 삼각형 ABC의 넓이는 동일하므로, (a * h) / 2 = (b * h_a) / 2 = (a * R_a) / 2 입니다.
이때, 삼각형 ABC의 세 변 a, b, c에 대한 외접원의 반지름 R은 동일하므로, R_a = R_b = R_c = R 입니다.
따라서, (a * h) / 2 = (b * h_a) / 2 = (a * R_a) / 2 = (abc) / (4R) 입니다.
이렇게 삼각형의 외접원 공식이 성립합니다.