구면좌표계 문제 질문

이 문제를 해결하기 위해서는 구면좌표계에서의 벡터 미분 연산자와 각운동량 벡터 연산자에 대한 이해가 필요합니다.

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(가) 문제에서는 다음과 같은 과정으로 풀이할 수 있습니다:

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1) 구면좌표계에서 위치 벡터 r은 r, θ, φ의 함수로 표현됩니다.

2) 이때 ∇ 연산자를 구면좌표계에서 표현하면 다음과 같습니다:

∇ = ∂/∂r * er + (1/r) * ∂/∂θ * eθ + (1/r*sinθ) * ∂/∂φ * eφ

3) 따라서 r∇^2 - ∇(1 + r∂/∂r)은 각 성분별로 계산할 수 있습니다.

r∇^2 - ∇(1 + r∂/∂r) = (∂^2/∂r^2 + 2/r * ∂/∂r) * er + (1/r^2 * ∂^2/∂θ^2 + cot(θ)/r^2 * ∂/∂θ) * eθ + (1/r^2*sin^2(θ) * ∂^2/∂φ^2) * eφ

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(나) 문제에서는 각운동량 벡터 연산자 L = -i(r × ∇)를 이용하여 ∇ × L을 구하면 됩니다.

∇ × L = -i(∇ × (r × ∇))

이를 구면좌표계에서 계산하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

∇ × L = (1/r^2 * ∂/∂r(r^2 * L_r)) * er + (1/r * ∂L_φ/∂θ - L_θ/r) * eθ + (1/r*sin(θ) * ∂(L_θ*sin(θ))/∂φ) * eφ

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(다) 문제에서는 (가)와 (나)의 결과를 비교하여 r∇^2 - ∇(1 + r∂/∂r)과 ∇ × L 사이의 관계를 찾아내면 됩니다.

이를 통해 r∇^2 - ∇(1 + r∂/∂r) = ∇ × L 임을 확인할 수 있습니다.

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이와 같은 과정을 통해 이 문제를 해결할 수 있습니다. 각 부분별로 자세한 풀이 과정을 설명드렸습니다. 이해가 되셨나요?