미적분 질문

(x^2-4)e^x를 적분하기 위해서는 부분적분을 사용해야 합니다. 부분적분은 곱셈의 미분법칙의 역순을 적용하는 것입니다.

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먼저, (x^2-4)를 미분합니다. 이를 위해 곱셈의 미분법칙을 사용하면 다음과 같습니다:

d/dx (x^2-4) = 2x

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이제, e^x를 적분합니다. e^x의 정적분은 자기 자신입니다:

∫ e^x dx = e^x

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부분적분을 적용하기 위해 다음과 같이 식을 나눕니다:

∫ (x^2-4)e^x dx = ∫ (x^2e^x - 4e^x) dx

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이제 첫 번째 항을 부분적분합니다. x^2e^x를 미분하면 다음과 같습니다:

d/dx (x^2e^x) = 2xe^x + x^2e^x

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부분적분을 적용하면 다음과 같습니다:

∫ (x^2e^x - 4e^x) dx = ∫ (2xe^x + x^2e^x) dx - ∫ 4e^x dx

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첫 번째 항의 적분은 다음과 같습니다:

∫ (2xe^x + x^2e^x) dx = 2∫ xe^x dx + ∫ x^2e^x dx

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두 번째 항의 적분은 다음과 같습니다:

∫ 4e^x dx = 4∫ e^x dx = 4e^x

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따라서, 원래의 적분식은 다음과 같습니다:

∫ (x^2-4)e^x dx = 2∫ xe^x dx + ∫ x^2e^x dx - 4e^x

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이제 각 항을 계산하면 최종적인 답을 얻을 수 있습니다.

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