가우스 소거법과 기약행 사다리꼴의 차이

안녕하세요

도움되실 내용으로 답변드립니다.

​

1. 가우스 소거법 (Gaussian Elimination)

- 목적: 연립방정식의 해를 찾거나, 행렬을 간단한 형태로 변환하는 것입니다.

- 과정: 상삼각행렬(Upper Triangular Matrix)로 변환하는 과정을 포함합니다. 즉, 주 대각선 아래의 모든 원소를 0으로 만드는 것을 목표로 합니다.

- 해를 구하는 과정: 주로 "뒤로 대입법(Back Substitution)"을 사용하여 해를 찾습니다. 상삼각행렬 형태로 변환된 연립방정식에서 마지막 방정식부터 앞으로 대입하면서 변수의 값을 찾아갑니다.

​

2. 기약행 사다리꼴 (Reduced Row Echelon Form, RREF)

- 목적: 행렬을 그 가장 단순한 형태로 변환하는 것입니다.

- 형태: 다음의 성질을 만족하는 행렬입니다.

1) 모든 영행렬은 그 아래에 위치합니다.

2) 행의 leading entry (첫 번째 nonzero 항)는 해당 열에서 유일한 nonzero 항입니다.

3) leading entry가 있는 각 행의 leading entry는 이전 행의 leading entry보다 오른쪽에 있습니다.

4) leading entry가 1이며, 그 열의 다른 모든 항목은 0입니다.

​

- 가우스-조르당 소거법: RREF를 얻기 위해서는 가우스-조르당 소거법(Gauss-Jordan elimination)을 사용합니다. 가우스 소거법과의 주요 차이점은, 가우스-조르당 방법은 주 대각선 위의 원소도 0으로 만드는 단계를 포함합니다.

​

3. 요약 및 차이점

- 가우스 소거법은 상삼각행렬로 변환하는 방법이며, 기약행 사다리꼴은 행렬을 최소한의 형태로 단순화하는 방법입니다.

- 기약행 사다리꼴을 얻기 위해서 가우스-조르당 소거법을 사용할 수 있으며, 이는 가우스 소거법의 확장된 버전으로 볼 수 있습니다.

- 가우스 소거법이 주로 연립방정식의 해를 찾는데 쓰이는 반면, RREF는 변수 간의 관계성을 찾거나 일반적인 해(solution space)를 찾는데 쓰입니다.

​

즉, 가우스 소거법과 기약행 사다리꼴은 행렬을 다루는 다른 방법과 형태를 지칭하며, 가우스-조르당 소거법을 통해 기약행 사다리꼴을 얻을 수 있습니다. 둘은 밀접한 관계를 가지지만 동일한 개념은 아닙니다.

​

도움되셨으면 좋겠습니다.

감사합니다.