극한에대해 정확하게 알고싶어요,, 불연속인함수에서 극한

제가 인강 사이트에 이렇게 질문을 올렸었는데 불연속인함수에서 극한값을구하는게 꼴을 파악해서 극한값을 구하는거라고하더라고요 그리고 막 어쩔때는 함숫값으로 해석하고 어쩔때는 막 함수의사애로 해석하고 혼란이와서 찝찝해서요ㅠㅠ. 제가 이렇게 질문한내용들이 다 맞는걸까요?
막 부정형일때는 함숫값으로해석하면안되고 함수의상태로해석해야되고 부정형이아닐때는 함숫값으로해석해도된다는데기준이 너무명확하지않아서요 수학에대해서 정확하게 알고싶어요 고등학교과정내에서 이해되게 부탁드립니다 고수님,,







✔️✔️✔️최고의 답변✔️✔️✔️

좀 복잡하게 생각하시는 것 같은데...

이럴때는 항상 그래프와 같이 살펴보세요.

https://www.desmos.com/calculator?lang=ko

Desmos | 그래핑 계산기

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www.desmos.com

이 사이트가 그래프 잘그려줍니당.

왼쪽 아래 키보드 모양 버튼 누르면 수식입력가능하니 진짜로 수학 잘하고 싶다면 꼭 다양한 함수들을 직접 그려놓고, 소위 말하는 '부정형' 의 케이스에서 분모가 0으로 가서 '대입이 안 되는' x값 근처에서 그래프가 어떻게 그려지는 지 직접 관찰해보세요.

아래쪽 내용이 무슨 뜻인지 정확하게는 모르겠습니다만

우리가 실제 문제를 풀때, 당연히 함수에 먼저 대입을 해보는 게 먼저입니당

왜냐면, 만약 그 x값에서 연속이라면 극한값=함숫값이거든요.

이게 아마 질문자님이 원하는 답의 근본 아닐까 싶긴한데...

그렇지만 그런 날먹 문제들은 문제로 나올리가 없죠 ㅋㅋㅋ

우리가 문제로 다루는 함수의 극한들이 대입으로 풀면 0/0 꼴로 나오도록 꼬아서,

해당 x값에서 불연속이 되도록 해 골치아프게 만드는거죠.

결론

=> 언제 대입해도되냐? 해당 x값에서 연속이라면 가능

그 x값에서 연속인지 어떻게아냐? 보통 나오는 함수들의 정의역을 보면 되죠? 나와봐야 다항함수, 루트 씌워진 함수들이 분수 형태로 있는게 대부분이니깐요.

루트가 있으면 -> 루트 안이 음수면 안될 테고, 분수함수면 -> 분모가 0이 아니어야겠죠

부정형일때는 왜 함숫값으로 하면 안되냐?

부정형일때 (0/0) 는 함숫값이 없으니까요 ㅋㅋㅋ

이 함수를 보세요.

딱 눈으로 봐도 분모분자에 x-1이 약분되어서 x+1만 남는거 보이시죠?

그래서 전체적인 보양은 이 둘이 동일합니다.

다만

요거는 분모에 명시적으로 x-1이 있기 때문에, 1을 대입할 수가 없어요. 왜? 분모가 0이니까!

그래서 이걸 그래프 그려보면, x+1이랑 동일하지만 x=1에서 빵구가 뚫려있게 되는겁니다.

여기서 x->1로 가는 극한을 계산해봐라! 했을 때, x=1에서 불연속이기 때문에 대입해서 구할 수 없는것이고요(대입하면 0/0 나오잖아요),

그렇기 때문에 식의 변형을 통해서 분모의 x-1을 약분시켜 x=1을 대입할 수 있는 꼴로 바꾼 다음에(연속함수로 만든 다음에) x=1을 대입하는 방법으로 구하게 되는 겁니다.

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