역함수는 왜 하필 y=x에서 대칭인가요?
이유가 궁금합니다. 왜 저 지점에서 대칭인가요?
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역함수의 대칭성은 역함수가 기존 함수의 그래프를 대칭시키도록 만든다는 특징에 기인합니다.
함수를 통해 한 집합의 원소들을 다른 집합의 원소들로 대응시킬 때, 역함수는 다른 집합의 원소들을 기존 집합의 원소들로 대응시킵니다. 따라서 역함수가 기존 함수의 그래프를 대칭시킨다는 것은 한 집합에서의 대응과 다른 집합에서의 대응이 서로를 대칭하여 일어난다는 의미입니다.
y=x의 그래프에서 대칭성은 기울기가 1인 직선이 x=y를 형성하는 것을 의미합니다. 따라서 역함수는 기존함수와 그래프상에서 대칭하여 위치하게 됩니다. 즉, y=x를 대칭축으로 하여 대칭된 모습을 보입니다.
이러한 대칭성은 역함수의 정의에 따라 수학적으로 증명될 수 있습니다. 역함수는 원함수와 상호 대칭인 점 (a,b)의 좌표는 역함수의 그래프 위에 (b,a)로 대칭되어 있어야 합니다. 따라서 y=x를 축으로 대칭성을 가지게 됩니다.