수2문제질문

문제: 점 (a, 6)에서 곡선 y = -5.22x + 6에 그은 접선이 오직 한 개 존재하도록 하는 실수 a의 값의 범위를 im<a<n이라 하자. 이때 9mm의 값을 구하시오.

​

해설:

곡선 y = -5.22x + 6의 접선의 방정식은 y - 6 = -5.22(x - a)으로 주어진다. 따라서, 점 (a, 6)에서의 접선의 기울기는 -5.22이다.

​

접선이 한 개만 존재하도록 하려면, 점 (a, 6)에서의 접선은 곡선의 두 변곡점 중 하나와 접점을 이루어야 한다. 곡선 y = -5.22x + 6의 변곡점은 x = 1.25와 x = 4.25이다.

​

따라서, 다음 두 가지 조건을 만족하는 a의 값의 범위가 답이 된다.

​

1. -5.22(a - 1.25) = 6

2. -5.22(a - 4.25) = 6

​

첫 번째 조건을 만족하는 a의 값은 1.25 + (6 / -5.22) = 2.32이다.

​

두 번째 조건을 만족하는 a의 값은 4.25 + (6 / -5.22) = 6.13이다.

​

따라서, 답은 2.32 < a < 6.13이다.

​

9mm의 값은 (6.13 - 2.32) / 2 = 1.905이다.

​

따라서, 정답은 1.905이다.

​

**추가 설명**

​

점 (a, 6)에서의 접선이 오직 한 개 존재하도록 하려면, 점 (a, 6)에서의 접선은 곡선의 두 변곡점 중 하나와 접점을 이루어야 한다고 했는데, 왜 그런지 설명하자면, 다음과 같다.

​

접선이 두 개 이상 존재하려면, 접선의 기울기가 곡선의 두 변곡점 사이의 기울기와 같아야 한다. 즉,

​

```

-5.22 = m1 = m2

```

​

여기서, m1은 변곡점 (1.25, 6)에서의 접선의 기울기이고, m2는 변곡점 (4.25, 6)에서의 접선의 기울기이다.

​

m1 = m2는 -5.22이므로, 변곡점 (1.25, 6)에서의 접선의 방정식과 변곡점 (4.25, 6)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

​

```

y - 6 = -5.22(x - 1.25)

y - 6 = -5.22(x - 4.25)

```

​

이 두 방정식을 풀면 다음과 같다.

​

```

x = 2.32

x = 6.13

```

​

즉, 점 (a, 6)의 x좌표가 2.32와 6.13 사이이면, 점 (a, 6)에서의 접선은 오직 한 개 존재한다.